Советский композитор, хоровой дирижер, генерал-майор.

Сын А.В. Александрова. С 1912 пел в хоре отца, с 1918 — в хоре Большого театра. В 1923–1929 руководил различными московскими музыкальными клубами.

Окончил курсы изобразительного искусства, Музыкальный техникум имени А.Н. Скрябина, Московскую консерваторию (класс композиции Р.М. Глиэра, 1929).

В 1930–1937 — дирижёр и заведующий музыкальной частью Центрального театра Красной Армии, в 1933–1941 — одновременно преподаватель Московской консерватории (с 1939 — доцент), а с 1937 с небольшими перерывами — дирижёр и заместитель художественного руководителя Ансамбля песни и пляски Красной Армии. Организатор и художественный руководитель Ансамбля советской песни Всесоюзного радио.

В Красной Армии с 1943 года. Вместе с ансамблем Б. Александров выезжал на различные участки фронта. В репертуар военного ансамбля песни и пляски вошло около ста песен Б. Александрова, среди которых «Красная Армия — Советская Армия» (сл. Е. Долматовского), «Да здравствует наша держава» (сл. А. Шилова), «Песня о России» (сл. Ю. Каменецкого), «Шли солдаты» (сл. А. Досталя), «Песня Победы» (сл. А. Шилова, А. Годова) и многие другие.

После скоропостижной смерти отца Б. Александров становится его преемником на посту начальника и художественного руководителя Академического дважды Краснознаменного ансамбля песни и пляски Советской Армии. Вплоть до 1987 г. Б. Александров продолжал дело своего отца, успешно руководя ансамблем песни и пляски, получившим мировое признание.

Автор двух балетов, нескольких оперетт (пользовалась большой популярностью «Свадьба в Малиновке» (1936), двух симфоний, трёх кантат, трех концертов для солирующих инструментов с оркестром, камерных инструментальных произведений, песен, музыки к драматическим спектаклям, а также ряда статей о музыке).

Народный артист СССР (1958), Герой социалистического труда (1975), лауреат Ленинской (1978) и Сталинской премии первой степени (1950).