Русский и советский композитор, пианист и педагог. Первоначально занимался у Н.С. Жиляева гармонией и у С.И. Танеева контрапунктом в 1907–10 гг., после чего поступил в Московскую консерваторию, которую окончил с малой золотой медалью по классу фортепиано К.Н. Игумнова и классу композиции С.Н. Василенко.
С 1916 г. выступал как пианист с исполнением своих произведений. Во время гражданской войны служил в Красной Армии. В первые годы после Октябрьской революции пианист и лектор в рабочих клубах Москвы. С 1923 преподаватель, с 1926 профессор по классу композиции Московской консерватории.
Среди его учеников — Н.П. Аносов, В.В. Бунин, Г.Е. Егиазарян, А.Н. Мазаев, М.А. Меерович, К.В. Молчанов, Г.А. Мушель, И.Г. Неймарк, Ю.М. Слонов, Я.С. Солодухо, Е.Н. Тиличеева, Н.К. Чемберджи и др.
Как композитор работал во многих жанрах, но наиболее ярко проявил себя в вокальной и камерно-инструментальной музыке. В воспоминаниях о С.В. Рахманинове сам Анат. Александров писал, что Сергей Владимирович охарактеризовал его «настоящим вокальным композитором». Действительно, в этой области Анат. Александров — автор шести опер, а многие его романсы на слова А.С. Пушкина, Е.А. Баратынского, Ф.И. Тютчева, А.А. Ахматовой получили широкую известность, вошли в репертуар ведущих исполнителей. Однако в историю музыки Анат. Александров вошел в первую очередь как создатель музыки для фортепиано, особенно как автор 14 фортепианных сонат.
В начале творческого пути в его произведениях обнаруживалось влияние корифеев русской фортепианной музыки — Скрябина, Метнера, Рахманинова, но позднее у Анат. Александрова выработался собственный уникальный стиль.
В 1930–40-е гг. композитор создал много произведений патриотической направленности. Это были песни и вокальные циклы, посвященные событиям Гражданской и Великой Отечественной войн. Наиболее известны из них — «Мы славим Родину» (1943, сл. А. Лучина), «Песня защитников Ленинграда» (1943, сл. С. Фейнберга), вокальный цикл в память о закончившейся войне «За Родину» (1947, сл. М. Исаковского, М. Матусовского, Н. Тихонова).
Народный артист СССР (1971). Лауреат Сталинской премии (1951). Доктор искусствоведения (1941).
Три кубка
Верность
За Родину (Здесь похоронен красноармеец-«Куда б ни шел, ни ехал ты»/Город Н./Заздравный кубок)
Тринадцать
Разведчик Чирков
Песня защитников Ленинграда
Песня о партизанке
Песня о комиссаре Фурманове
Наша Москва
Винтовка
Готовы всегда
Мы славим Россию
Мстислав Удалой