Русский и советский композитор, пианист и педагог. Первоначально занимался у Н.С. Жиляева гармонией и у С.И. Танеева контрапунктом в 1907–10 гг., после чего поступил в Московскую консерваторию, которую окончил с малой золотой медалью по классу фортепиано К.Н. Игумнова и классу композиции С.Н. Василенко.

С 1916 г. выступал как пианист с исполнением своих произведений. Во время гражданской войны служил в Красной Армии. В первые годы после Октябрьской революции пианист и лектор в рабочих клубах Москвы. С 1923 преподаватель, с 1926 профессор по классу композиции Московской консерватории.

Среди его учеников — Н.П. Аносов, В.В. Бунин, Г.Е. Егиазарян, А.Н. Мазаев, М.А. Меерович, К.В. Молчанов, Г.А. Мушель, И.Г. Неймарк, Ю.М. Слонов, Я.С. Солодухо, Е.Н. Тиличеева, Н.К. Чемберджи и др.

Как композитор работал во многих жанрах, но наиболее ярко проявил себя в вокальной и камерно-инструментальной музыке. В воспоминаниях о С.В. Рахманинове сам Анат. Александров писал, что Сергей Владимирович охарактеризовал его «настоящим вокальным композитором». Действительно, в этой области Анат. Александров — автор шести опер, а многие его романсы на слова А.С. Пушкина, Е.А. Баратынского, Ф.И. Тютчева, А.А. Ахматовой получили широкую известность, вошли в репертуар ведущих исполнителей. Однако в историю музыки Анат. Александров вошел в первую очередь как создатель музыки для фортепиано, особенно как автор 14 фортепианных сонат.

В начале творческого пути в его произведениях обнаруживалось влияние корифеев русской фортепианной музыки — Скрябина, Метнера, Рахманинова, но позднее у Анат. Александрова выработался собственный уникальный стиль.

В 1930–40-е гг. композитор создал много произведений патриотической направленности. Это были песни и вокальные циклы, посвященные событиям Гражданской и Великой Отечественной войн. Наиболее известны из них — «Мы славим Родину» (1943, сл. А. Лучина), «Песня защитников Ленинграда» (1943, сл. С. Фейнберга), вокальный цикл в память о закончившейся войне «За Родину» (1947, сл. М. Исаковского, М. Матусовского, Н. Тихонова).

Народный артист СССР (1971). Лауреат Сталинской премии (1951). Доктор искусствоведения (1941).