Советский композитор, хоровой дирижер, генерал-майор. С 1891 — в Санкт-Петербурге, пел в хоре Казанского собора. Занимался музыкой в регентских классах Придворной певческой капеллы (Петербург).

В 1900 поступил в Петербургскую консерваторию (класс композиции А.К. Глазунова и А.К. Лядова), но по болезни прервал занятия. С 1909 учился в Московской консерватории по классу композиции С.Н. Василенко (окончил в 1913, дипломная работа — опера «Русалка» по А.С. Пушкину), а также по классу пения у А. Мазетти (1916).

В 1906–1909 и 1913–1916 жил в Твери, где работал хормейстером, регентом архиерейского хора, организовал и возглавил музыкальную школу. С 1918 преподаватель, с 1922 профессор Московской консерватории. Учениками А. Александрова были многие хоровые и военные дирижёры, музыкальные теоретики.

Дирижёр высокой музыкальной культуры, глубоко раскрывавший характер русской и советской песни, А. Александров обессмертил свое имя созданием Краснознамённого ансамбля песни и пляски Советской Армии (1928, ныне его имени). Ансамбль завоевал огромную популярность в СССР и за рубежом; он положил начало возникновению в нашей стране целой плеяды ансамблей песни и пляски. Лучшие достижения Александрова-композитора тесно связаны с работой в ансамбле, с его исполнительским стилем.

Ряд сочинений А. Александрова отличается эпической широтой и распевностью, гимническим характером звучания. Эти сочинения продолжают традиции русской музыкальной классики (здравицы-славления, идущие от оперы Глинки «Иван Сусанин»).

Одна из лучших песен композитора «Священная война» (сл. В.И. Лебедева-Кумача) создана в первые дни Великой отечественной войны 1941–45 и стала её музыкальной эмблемой.

Образы советских воинов воплощены в песнях «Эшелонная», «Бейте с неба, самолёты», «За великую землю советскую», «Песня о маршале Рокоссовском», «Песня о Советской Армии» и др. Стилистика многих песен А. Александрова органически связана с армейским музыкальным фольклором, нередко — с солдатской частушкой.

А. Александров является автором музыки Государственного гимна Советского Союза (1943). В 1991 г. после распада СССР музыкой гимна Российской Федерации стала «Патриотическая песня» М. Глинки, но в 2000 г. было принято решение вернуться к музыке А. Александрова на новые, переработанные слова.

А. Александров был удостоен Государственных премий СССР в 1942 (за ряд песен) и 1946 (за концертно-исполнительскую деятельность).

Умер в Берлине во время гастролей.