Советский композитор. С детства обучался музыки под руководством своей матери — концертмейстера и педагога, подавал надежды как пианист, однако параллельно увлекался воздухоплаванием, состоял членом семипалатинского аэроклуба. После окончания средней школы отдал предпочтение авиации и поступил в Чкаловское военно-авиационное училище в Оренбурге.

Во время Великой отечественной войны был командиром эскадрильи в штурмовой авиации, совершил 116 боевых вылетов, сбил 9 вражеских самолетов. Был тяжело ранен в боях за освобождение Минска, осколок снаряда повредил позвоночник, наступил полный паралич и его даже посчитали мертвым. Из-за ранений с авиацией пришлось расстаться. Тут то и пригодились детские уроки фортепиано с матерью.

В 1946 г. Л. Афанасьев поступил в Алма-Атинскую консерваторию (класс Е.Г. Брусиловского), а после ее окончания в 1951–1952 годах учился в аспирантуре Московской консерватории им. П.И. Чайковского. Был консультантом творческой комиссии Союза композиторов СССР.

Известен, главным образом, как автор песен и музыки к кинофильмам (более 40, в том числе к таким популярным, как «Когда деревья были большими» (1961), «Игра без правил» (1963), «Хозяин тайги» (1968), «Тени исчезают в полдень» (1971), «Вечный зов» (1973)).

В творчестве Л. Афанасьева одно из главных мест занимают темы Великой отечественной войны и авиации. Даже свою единственную симфонию, написанную в 1969 г. композитор посвятил «друзьям-однополчанам».

Среди лучших «авиационных» песен Л. Афанасьева, основанных на автобиографическом материале, можно назвать «Вспомним, друзья» (сл. Н. Гребенникова), «Марш парашютистов-десантников» (сл. Е. Аграновича), «Наш командир звена» (сл. И. Шамова), «Первая эскадрилья» (сл. А. Комаровского), «Песня пилота» (сл. А. Парфентьева, А. Досталя), «Ты к небу не ревнуй меня» (сл. С.Гребенникова).

Народный артист РСФСР (1986), лауреат Сталинской премии (1952).